Теория приближений

Дагестанские Электронные Математические Известия: Выпуск №10 (2018)


Ортогональные по Соболеву полиномы, порожденные модифицированными полиномами Лагерра, и задача Коши для систем ОДУ

УДК: 517.521

Страницы: 23 - 40


Рассмотрена задача о представлении решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (вообще говоря нелинейных) в виде ряда Фурье по полиномам $l_{r,k}(x;b)$ $(k=0,1,\ldots)$, ортонормированным по Соболеву относительно скалярного произведения $<f,g>=\sum_{\nu=0}^{r-1}f^{(\nu)}(0)g^{(\nu)}(0)+\int_{0}^\infty f^{(r)}(t)g^{(r)}(t)e^{-bt}dt$ с $b>0$, порожденным модифицированными полиномами Лагерра $l_k(x;b)=\sqrt{b}L_k(bx)$ посредством равенств $l_{r,k}(x;b) =\frac{x^k}{k!}\, ( k=0,1,\ldots, r-1)$, $l_{r,r+k}(x;b) =\frac{1}{(r-1)!}\int_{0}^x(x-t)^{r-1} {l}_{k}(t;b)dt\, ( k=0,1,\ldots)$. В бесконечномерном гильбертовом пространстве $l_2^m$ $m$-мерных последовательностей $C=(c_0,c_1,\ldots)$, для которых определена норма $\|C\|=\left(\sum\nolimits_{j=0}^\infty \sum\nolimits_{l=1}^{m}(c_j^l)^2\right)^\frac12$, сконструирован сжимающий нелинейный оператор $A: l_2^m\to l_2^m$, неподвижная точка $\hat C=(\hat c_0,\hat c_1,\ldots)$ которого совпадает с последовательностью искомых неизвестных коэффициентов разложения решения рассматриваемой задачи Коши в ряд Фурье по системе $l_{1,k}(x;b)$ $(k=0,1,\ldots)$. Сконструирован также соответствующий конечномерный аналог $A_N:\mathbb{R}^N_m\to \mathbb{R}^N_m$ оператора $A$, который действует в конечномерном пространстве $\mathbb{R}^N_m$ матриц $C$ размерности $m\times N$, в котором определена норма $\|C\|_N^m=\left(\sum\nolimits_{j=0}^{N-1} \sum\nolimits_{l=1}^{m}(c_j^l)^2\right)^\frac12$. Неподвижная точка $\bar C=(\bar c_0,\bar c_1,\ldots, \bar c_{N-1})$ оператора $A_N$ представляет собой оценку (приближенное значение) искомой точки $\hat C_N=(\hat c_0,\hat c_1,\ldots, \hat c_{N-1})$. Установлена оценка погрешности $\|\hat C_N-\bar C_N\|_N^m$.


Ключевые слова: Полиномы, ортогональные по Соболеву, порожденные полиномы Лагерра, модифицированные полиномы Лагерра, Задача Коши для систем ОДУ.




В содержание выпуска

Скачать полный текст