Ортогональные на сетке по Соболеву функции, порожденные дискретными ортогональными функциями и задача Коши для разностного уравнения

Рассмотрены системы функций ${\cal \psi}_{r,n}(x)$ $(r=1,2,\ldots, n=0,1,\ldots)$, ортонормированные по Соболеву относительно скалярного произведения вида $\langle f,g\rangle=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta^kf(0)\Delta^kg(0)+ \sum_{j=0}^\infty\Delta^rf(j)\Delta^rg(j)\rho(j)$, порожденные заданной ортонормированной системой функций ${\cal \psi}_{n}(x)$ $( n=0,1,\ldots)$. Показано, что ряды и суммы Фурье по системе ${\cal \psi}_{r,n}(x)$ $(r=1,2,\ldots, n=0,1,\ldots)$ являются удобным и весьма эффективным инструментом приближенного решения задачи Коши для разностных уравнений.