Теория приближений

Дагестанские Электронные Математические Известия, Выпуск №4 (2015)


Об одновременном приближении функций и их производных посредством полиномов Чебышева, ортогональных на равномерной сетке

УДК: 517.587

Страницы: 74 - 117


Рассмотрена задача об исследовании аппроксимативных свойств полиномиального оператора {\cal X}_{m,N}(f)={\cal X}_{m,N}(f,x), действующего в пространстве C[-1,1], основанного на использовании лишь дискретных значений функции f(x), заданных в узлах равномерной сетки \{x_j=-1+jh\}_{j=0}^{N+2r-1}\subset [-1,1], который может быть использован в задаче об одновременном приближении дифференцируемой функции f(x) и ее нескольких производных f{\apostrophe}(x), \ldots, f^{(p)}(x). Построение операторов {\cal X}_{m,N}(f) основано на полиномах Чебышева T_n^{\alpha,\beta}(x,N) (0\le n\le N-1), образующих ортогональную систему на множестве \Omega_N=\{0,1,\ldots,N-1\} с весом \mu(x)=\mu(x;\alpha,\beta,N)=c{\Gamma(x+\beta+1) \Gamma(N-x+\alpha)\over \Gamma(x+1)\Gamma(N-x)}, т.е. \sum_{x\in\Omega_N}\mu(x)T_n^{\alpha,\beta}(x,N)T_m^{\alpha,\beta}(x,N) =h_{n,N}^{\alpha,\beta}\delta_{nm}. Получены верхние оценки для функции Лебега оператора {\cal X}_{m,N}(f)={\cal X}_{m,N}(f,x) и весовых приближений вида {|\frac1{h^{\nu}}\Delta_h^\nu\left[ f(x_{j-\nu})-{\cal X}_{n+2r,N}(f,x_{j-\nu})\right]|\over\left(\sqrt{1-x_{j}^2}+{1\over m}\right)^{r-\nu-\frac12}}.


Ключевые слова: полиномы Чебышева, ортогональные на сетке; полиномы Чебышева первого рода; приближение функций и производных.




В содержание выпуска

Скачать полный текст