Теория приближений

Дагестанские Электронные Математические Известия, Выпуск №8 (2017)


Приближение кусочно-линейных функций дискретными суммами Фурье

УДК: 517.521.2

Страницы: 21 - 26


Пусть N \geq 1 --- некоторое натуральное число. Выберем N равномерно расположенных точек t_k = 2\pi k / N (0 \leq k \leq N - 1) на [0,2\pi]. Обозначим через L_{n,N}(f)=L_{n,N}(f,x) (1\leq n\leq N/2) тригонометрический полином порядка n, обладающий наименьшим квадратическим отклонением от f относительно системы \{t_k\}_{k=0}^{N-1}. В данной статье рассмотрена проблема приближения функций полиномами L_{n,N}(f,x). Особое внимание уделено приближению 2\pi-периодических функций f_1 и f_2, где f_1(x)=|x| и f_2(x)=\mbox{sign\,} x для x \in [-\pi,\pi]. Для функции f_1 вместо оценки \left|f_{1}(x)-L_{n,N}(f_{1},x)\right| \leq c\ln n/n, которая следует из известного неравенства Лебега для полиномов L_{n,N}(f,x), найдена точная по порядку оценка \left|f_{1}(x)-L_{n,N}(f_{1},x)\right| \leq c/n (x \in \mathbb{R}) равномерная относительно 1 \leq n \leq N/2. Также была найдена локальная оценка \left|f_{1}(x)-L_{n,N}(f_{1},x)\right| \leq c(\varepsilon)/n^2 (\left|x - \pi k\right| \geq \varepsilon), которая также равномерна относительно 1 \leq n \leq N/2. Для второй функции f_2 найдена только локальная оценка \left|f_{2}(x)-L_{n,N}(f_{2},x)\right| \leq c(\varepsilon)/n (\left|x - \pi k\right| \geq \varepsilon), равномерная относительно 1 \leq n \leq N/2. Доказательства этих оценок основаны на сравнении аппроксимативных свойств дискретных и непрерывных сумм Фурье.


Ключевые слова: приближение функций, тригонометрические полиномы, ряды Фурье.




В содержание выпуска

Скачать полный текст