О приближенном решении задачи Коши для системы ОДУ посредством системы $1,\, x,\, \{\frac{\sqrt{2}}{\pi n}\sin(\pi nx)\}_{n=1}^\infty$

Рассмотрена система функций $\xi_0(x)=1,\, \{\xi_n(x)=\sqrt{2}\cos(\pi nx)\}_{n=1}^\infty$ и порожденная ею система $ \xi_{1,0}(x)=1,\, \xi_{1,1}(x)=x,\, \xi_{1,n+1}(x)=\int_0^x \xi_{n}(t)dt=\frac{\sqrt{2}}{\pi n}\sin(\pi nx),\, n=1,2,\ldots, $ которая является ортонормированной по Соболеву относительно скалярного произведения вида $<f,g>=f'(0)g'(0)+\int_{0}^{1}f'(t)g'(t)dt$. Показано, что ряды и суммы Фурье по системе $\{\xi_{1,n}(x)\}_{n=0}^\infty$ является удобным и весьма эффективным инструментом приближенного решения задачи Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).