Теория приближений
Дагестанские Электронные Математические Известия, Выпуск №9 (2018)
Алгоритм быстрого дискретного преобразования для сумм Фурье по ортогональным по Соболеву полиномам, порожденным полиномами Чебышева первого рода
УДК: 517.538
Страницы: 52 - 61
DOI: 10.31029/demr.9.6
Рассмотрена задача о численной реализации линейных комбинаций вида $S_N(x) =\sum\nolimits_{k=0}^{N-1}p_kT_{1,k+1}(x)$, где
$T_{1,n}(x)$ $(n=0,1,\ldots)$ --- ортогональные по Соболеву полиномы, порожденные полиномами Чебышева первого рода $T_{0} = 1 / \sqrt{2}$, $T_{n}(x)=\cos( n\arccos x)$ ($n \in \mathbb{N}$) посредством
равенств $T_{1,0}=1$, $T_{1,n+1}(x) =\int_{-1}^x T_{n}(t)dt$ $(n=1,\ldots)$.
Для решения этой задачи на сетке $x_j=\cos\frac{(2j+1)\pi}{2M}$ $(0\le j\le M-1)$ осуществлен ряд преобразований выражения $S_N(x)$,
которые в итоге позволяют свести рассматриваемую задачу к применению быстрого дискретного преобразования Фурье.
Разработаны соответствующий алгоритм и программа на языке C#.
С их помощью проведены численные эксперименты, которые показывают, что алгоритм, основанный на быстром преобразовании
значительно выигрывает в смысле скорости вычислений по сравнению с методом непосредственного вычисления суммы $S_N(x)$ пользуясь явным видом полиномов $T_{1,n}(x)$.
Ключевые слова: полиномы Чебышева; полиномы, ортогональные по Соболеву; быстрое преобразование Фурье; дискретное косинусное преобразование.