Теория приближений

Дагестанские Электронные Математические Известия, Выпуск №9 (2018)


Алгоритм быстрого дискретного преобразования для сумм Фурье по ортогональным по Соболеву полиномам, порожденным полиномами Чебышева первого рода

УДК: 517.538

Страницы: 52 - 61


Рассмотрена задача о численной реализации линейных комбинаций вида S_N(x) =\sum\nolimits_{k=0}^{N-1}p_kT_{1,k+1}(x), где T_{1,n}(x) (n=0,1,\ldots) --- ортогональные по Соболеву полиномы, порожденные полиномами Чебышева первого рода T_{0} = 1 / \sqrt{2}, T_{n}(x)=\cos( n\arccos x) (n \in \mathbb{N}) посредством равенств T_{1,0}=1, T_{1,n+1}(x) =\int_{-1}^x T_{n}(t)dt (n=1,\ldots). Для решения этой задачи на сетке x_j=\cos\frac{(2j+1)\pi}{2M} (0\le j\le M-1) осуществлен ряд преобразований выражения S_N(x), которые в итоге позволяют свести рассматриваемую задачу к применению быстрого дискретного преобразования Фурье. Разработаны соответствующий алгоритм и программа на языке C#. С их помощью проведены численные эксперименты, которые показывают, что алгоритм, основанный на быстром преобразовании значительно выигрывает в смысле скорости вычислений по сравнению с методом непосредственного вычисления суммы S_N(x) пользуясь явным видом полиномов T_{1,n}(x).


Ключевые слова: полиномы Чебышева; полиномы, ортогональные по Соболеву; быстрое преобразование Фурье; дискретное косинусное преобразование.




В содержание выпуска

Скачать полный текст