Теория приближений

Дагестанские Электронные Математические Известия, Выпуск №4 (2015)


Некоторые специальные ряды по общим полиномам Лагерра и ряды Фурье по полиномам Лагерра, ортогональным по Соболеву

УДК: 517.538

Страницы: 31 - 73


Рассмотрены некоторые специальные ряды по полиномам Лагерра и исследованы их аппроксимативные свойства. В частности, получена верхняя оценка для функции Лебега частичных сумм введјнного специального ряда по полиномам Лагерра. Введены и исследованы полиномы l_{r,k}^{\alpha}(x) (k=0,1,\ldots), ортонормированные по Соболеву относительно скалярного произведения<f,g>=\sum_{\nu=0}^{r-1}f^{(\nu)}(0)g^{(\nu)}(0)+\int_0^\infty f^{(r)}(t)g^{(r)}(t)e^{-t}dt, порожденные классическими ортогональными многочленами Лагерра L_k^{\alpha}(x) (k=0,1,\ldots). Получены представления полиномов L_{r,k}^{\alpha}(x) в виде некоторых выражений, содержащих многочлены Лагерра L_n^{\alpha - r}(x). Установлен явный вид полиномов l_{r,k + r}^{\alpha}(x), представляющий собой разложение по степеням x^{r+l} с l = 0,\ldots,k. Эти результаты могут быть использованы при исследовании асимптотических свойств полиномов l_{r,k}^{\alpha}(x) при k\to\infty и аппроксимативных свойств частичных сумм рядов Фурье по этим полиномам. Показано, что ряд Фурье по полиномам l_{r,k}^{\alpha}(x) совпадает со смешанным рядом по полиномам Лагерра, введенным и исследованным автором ранее. Кроме того показано, что если \alpha = 0, то смешанные ряды по полиномам Лагерра и, как следствие, ряд Фурье по полиномам l_{r,k}^0(x) представляют собой частные случаи специальных рядов, введенных в настоящей работе.


Ключевые слова: полиномы Лагерра, смешанные ряды по полиномам Лагерра, специальные ряды, преобразование Лапласа, ортогональные по Соболеву полиномы, неравенство Лебега.




В содержание выпуска

Скачать полный текст