Об идентификации параметров линейных систем посредством полиномов Чебышева первого рода и полиномов Чебышева, ортогональных на равномерной сетке

В работе исследуется линейная система у которой входной сигнал $y = y(t)$ и выходной сигнал $x = x(t)$ связаны между собой равенством $x^{(r)}(t)=\sum_{\nu=0}^{r-1}a_\nu(t)x^{(\nu)}(t)+\sum_{\mu=0}^s b_\mu(t)y^{(\mu)}(t)$. Ставится задача найти неизвестные переменные коэффициенты $a_\nu(t)$ $(\nu=0,\ldots,r-1)$ и $b_\mu(t)$ $(\mu=0,\ldots,s)$. Рассматривается случай когда значения сигналов заданы в узлах равномерной сетки $\Omega_N=\{t_j=-1+jh\}_{j=0}^{N-1}$, где $h=\frac2{N-1}$. Предполагается, что значения $x(t)$ и $y(t)$ получены экспериментально в результате наблюдений и зашумлены. Для предварительной обработки дискретной информации используется ее <<сглаживание>>, основанное на применении полиномов Чебышева, ортогональных на равномерной сетке $\Omega_N$. На следующем шаге от исходного уравнения осуществляется переход к двойственному уравнению путем представления всех фигурирующих в нем функций (включая и производные) в виде рядов по полиномам Чебышева первого рода $C_n(t)=\cos{(\arccos{t})}$. В результате возникает система линейных уравнений относительно коэффициентов Фурье – Чебышева искомых переменных коэффициентов $a_\nu(t)$ и $b_\nu(t)$. Решая эту систему численными методами, получаем переменные коэффициенты исходной системы уравнений, завершая тем самым решение задачи идентификации.